Predicción de campos de tensión, deformación y deformación en materiales y estructuras con redes neuronales gráficas

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 21834 (2022) Citar este artículo

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El desarrollo de herramientas computacionales precisas pero rápidas para simular fenómenos físicos complejos es un problema de larga data. Los avances recientes en el aprendizaje automático han revolucionado la forma en que se abordan las simulaciones, pasando de un paradigma puramente físico a uno basado en IA. Aunque se han alcanzado logros impresionantes, la predicción eficiente de fenómenos físicos complejos en materiales y estructuras sigue siendo un desafío. Aquí, presentamos un marco general basado en IA, implementado a través de redes neuronales gráficas, capaz de aprender el comportamiento mecánico complejo de los materiales a partir de unos pocos cientos de datos. Aprovechando el mapeo natural de malla a gráfico, nuestro modelo de aprendizaje profundo predice campos de deformación, estrés y tensión en varios sistemas de materiales, como fibra y compuestos estratificados, y metamateriales de celosía. El modelo puede capturar fenómenos no lineales complejos, desde plasticidad hasta inestabilidad de pandeo, aparentemente aprendiendo relaciones físicas entre los campos físicos predichos. Debido a su flexibilidad, este marco basado en gráficos tiene como objetivo conectar la microestructura de los materiales, las propiedades de los materiales base y las condiciones de contorno a una respuesta física, abriendo nuevas vías hacia el modelado sustituto basado en gráficos de IA.

En el intento cada vez mayor de descubrir y diseñar estructuras y materiales mecánicos de alto rendimiento, las distribuciones de deformación, tensión y tensión son la información esencial a partir de la cual se pueden deducir todas las demás propiedades o funciones mecánicas. Con la reciente explosión de tecnologías de fabricación aditiva, materiales y estructuras morfológica y físicamente sofisticados con propiedades y funciones mecánicas superiores, como compuestos jerárquicos1,2,3, estructuras entrelazadas geométricamente4,5,6 y metamateriales arquitectónicos7,8,9,10, ahora se puede fabricar fácilmente. Debido a su complejidad geométrica11 y la intrincada disposición de los materiales constitutivos con diferentes propiedades mecánicas12, la predicción de la respuesta física de tales sistemas de materiales con métodos tradicionales, como modelos analíticos y simulaciones numéricas, se vuelve fácilmente intratable, especialmente cuando la detección rápida pero precisa de astronómicamente grandes los conjuntos de datos deben llevarse a cabo para el descubrimiento y diseño de materiales13. Además, incluso los materiales y estructuras tradicionalmente fabricables que involucran características altamente no lineales, como la hiperelasticidad, la plasticidad y la inestabilidad posterior al pandeo, requieren simulaciones computacionalmente costosas, lo que limita la investigación y el descubrimiento de materiales14,15. En términos más generales, la predicción de los campos de tensión y deformación de materiales y sistemas estructurales es una tarea recurrente en la ciencia e ingeniería de materiales y encontrar un enfoque rápido pero preciso es un problema abierto y desafiante. Motivados por los límites de los modelos analíticos para predecir de manera eficiente el comportamiento físico de materiales y estructuras sólidos, las simulaciones computacionales basadas en la física, en particular el modelado de elementos finitos (FE), han representado hasta ahora el factor clave para resolver problemas físicos complejos de valores iniciales y límites. a menudo implica ecuaciones en derivadas parciales altamente no lineales16. Sin embargo, la aparición y el crecimiento del campo del aprendizaje automático (ML) en los últimos años ha demostrado la posibilidad de superar a los solucionadores numéricos tradicionales, acelerando en gran medida las simulaciones de sistemas físicos17,18,19,20,21,22, a partir del uso de la física. redes neuronales informadas para extraer campos de velocidad y presión desde la visualización de flujo23 hasta el diseño inverso de materiales arquitectónicos con propiedades elásticas extremas utilizando redes adversarias generativas24. Dada la importancia del descubrimiento y diseño de materiales, vinculando la microestructura y la mesoestructura de los materiales con las propiedades mecánicas (estructura a propiedad)25,26,27,28,29,30 y el diseño inverso (es decir, dadas las propiedades específicas, encontrar diseños óptimos) los metamateriales arquitectónicos de alto rendimiento10,13,24,31,32,33,34,35,36,37,38,39 han dominado recientemente la escena de la investigación. En ambos casos, el rendimiento de los materiales depende esencialmente de los campos mecánicos locales, como las distribuciones de tensiones y deformaciones, debido al efecto de la geometría, el comportamiento de los materiales base y las condiciones de contorno. Aprovechando las ventajas de las redes neuronales convolucionales basadas en píxeles, los campos mecánicos se han estudiado principalmente en sistemas materiales y estructurales "digitales" (es decir, discretizados en forma de cuadrículas)40,41,42,43,44,45,46, como en47 donde los campos de tensión y deformación se predijeron en compuestos jerárquicos digitales, o en 48 donde las microestructuras de materiales heterogéneos se consideraron como imágenes. Uno de los métodos numéricos más populares y utilizados, como el modelado FE, adopta representaciones de malla en lugar de cuadrícula regular para resolver las ecuaciones diferenciales parciales subyacentes. Con la extensión intuitiva de la información de malla a la representación gráfica, las redes neuronales gráficas (GNN)49 heredan todas las ventajas del uso de dominios en malla. Además, aún falta un marco general de ML eficiente capaz de vincular no solo la microestructura de un material, sino también las propiedades de los materiales constitutivos (p. ej., en un material compuesto) y las condiciones de contorno a la respuesta física.

Inspirándonos en desarrollos recientes sobre GNN para predicciones de campos físicos50,51,52, proponemos un método general basado en geometrías malladas para predecir campos de tensión, deformación y deformación en materiales y sistemas estructurales. Los beneficios de usar GNN profundos en lugar de modelos basados en imágenes (como las redes neuronales convolucionales) son potencialmente los siguientes: (i) malla refinada cerca de concentradores de tensión/deformación, como muescas (es decir, defectos) y discontinuidades de material, y curvas suaves superficies, permite predicciones locales más precisas con un menor aumento de los costos computacionales; (ii) los modelos basados en mallas no estructuradas permiten aprender el comportamiento del sistema independientemente de la resolución, lo que significa que se pueden usar diferentes tamaños de malla en tiempo de ejecución; (iii) Dada su naturaleza gráfica, los metamateriales de armadura arquitectónica pueden representarse de manera más eficiente mediante GNN.

Aquí, aprovechando el mapeo de malla a gráfico, proponemos un método general de aprendizaje automático basado en gráficos para predecir formas deformadas, campos de tensión y deformación en materiales y sistemas estructurales. Para demostrar la flexibilidad y la generalidad del enfoque propuesto, nos enfocamos en tres sistemas de materiales diferentes que experimentan diferentes fenómenos mecánicos complejos, a saber, la plasticidad de los compuestos de una sola fibra, el arrugamiento de las interfaces de las capas y la inestabilidad de pandeo de los metamateriales de la red. Mostramos que los GNN pueden aprender las condiciones de carga que correlacionan la forma deformada y el campo de tensión, así como las relaciones físicas entre la estructura del material y la tensión (deformación) y el campo de deformación. Si bien los modelos de aprendizaje automático basados en imágenes, como las redes neuronales convolucionales, los autocodificadores variacionales y las redes antagónicas generativas, se han utilizado ampliamente para predecir campos físicos en compuestos jerárquicos53, estructuras perforadas54, microestructuras fabricadas aditivamente con defectos45 y microestructuras heterogéneas42,48, el trabajo actual presenta un marco ML más flexible y general para la predicción de formas deformadas, campos de tensión y deformación con GNN.

Esquemas del modelo ML propuesto. El material de malla o el sistema estructural se mapea primero en un gráfico. Aquí se muestran tres ejemplos de diversa complejidad. Las características de los nodos y los bordes se definen sobre la estructura del gráfico y contienen información del sistema, como las posiciones de los nodos, el tipo de nodo (es decir, la fase del material base) o los desplazamientos en nodos específicos. Estas características se codifican primero en un espacio latente más grande. Luego, un módulo de paso de mensajes procesa las características del gráfico: cada nodo adquiere información de sus nodos vecinos, aprendiendo las relaciones entre las diferentes partes del sistema. Las cantidades nodales transformadas finalmente se decodifican en campos físicos de salida, aquí, campos de deformación, tensión y deformación (\(u_i\), \(\sigma _i\),\(\varepsilon _i\)). Proporcionar información geométrica/topológica (\({\textbf{g}}\)), el comportamiento de los materiales base (\({\textbf{m}}\)) y las condiciones de contorno (\(\mathbf {\text {BC }}\)), el modelo aprende relaciones físicas con los campos considerados. Una vez entrenado, el modelo ML puede predecir con precisión los campos físicos de varios materiales y sistemas estructurales sujetos a fenómenos físicos complejos, como arrugas o pandeo.

Los dominios de malla utilizados en el modelado FE son colecciones de elementos geométricos conectados (como líneas, triángulos, cuadriláteros, tetraedros) que definen sólidos, superficies o líneas. El problema del valor límite a menudo se define por las cantidades físicas de interés (como el desplazamiento y la tensión) en ubicaciones específicas en el límite de los elementos, a saber, nodos (generalmente coincidentes con vértices). Considerando la malla compuesta únicamente por nodos conectados a través de aristas, identificamos dominios de malla con gráficos computacionales \(G=(V,E)\), donde V representa un conjunto de N nodos conectados entre sí a través de M aristas (E). El i-ésimo nodo (en V) trae n características en el vector \(v_i\) (como las coordenadas nodales y las propiedades del material base); De manera similar, el borde (en E) que conecta el i-ésimo y el j-ésimo nodo tiene un vector de características de dimensión m \(e_{ij}\) (como la distancia entre los nodos). Como se ilustra en la Fig. 1, nuestro modelo aborda el problema de predecir los campos de desplazamiento (\(u_i\)), tensión (\(\sigma _i\)) y deformación (\(\varepsilon _i\)) (en el gráfico nodos) en materiales y sistemas estructurales, como elementos de volumen representativos (RVE) y estructuras de celosía de tamaño finito. Dada la flexibilidad de la representación gráfica, todos los factores que determinan la respuesta mecánica del material, es decir, geometría/topología (\({\textbf{g}}\)), comportamiento de los materiales base (\({\textbf{m}} \)), y las condiciones de contorno (\(\mathbf {\text {BC }}\)), se pueden codificar en las características de nodo y borde, y la conectividad gráfica (como se muestra a continuación para tres sistemas de materiales).

Las GNN son una clase de redes neuronales profundas que operan directamente sobre datos gráficos (es decir, datos no euclidianos), en lugar de datos vectorizados o de imágenes55. En nuestro trabajo, desarrollamos un modelo ML codificador-decodificador para aproximar la relación (f en la Fig. 1) entre las características y condiciones materiales y estructurales, y los campos físicos (desplazamiento, tensión y deformación). Nuestro modelo consta de tres componentes, el codificador, el paso de mensajes y el decodificador (Fig. 1). A partir de la representación gráfica del sistema material, el codificador codifica las características del nodo y el borde en un espacio latente (de mayor dimensión d) usando las redes neuronales \(\epsilon ^N\) y \(\epsilon ^E\) en cada nodo y arista, respectivamente. Estas características codificadas son procesadas por el módulo de paso de mensajes, que primero agrega información de la vecindad de cada nodo (a través de la red neuronal \(M^E\)), y luego actualiza el estado del nodo utilizando la red neuronal \(U^N \); estas dos operaciones representan un paso de mensaje. Después de que pasa el mensaje L, la red neuronal \(\delta ^N\) (es decir, el Decodificador) transforma las características del nodo latente en las salidas de campo. El modelo se entrena mediante la supervisión de cantidades físicas nodales (es decir, \(u_i\), \(\sigma _i\), \(\varepsilon _i\)) obtenidas mediante simulaciones FE (realidad básica). En general, el modelo GNN toma un gráfico que representa el sistema material como entrada y genera campos físicos. Como medidas para evaluar el desempeño del modelo, usamos el mapa de error, definido como la diferencia nodal entre la realidad del terreno y las predicciones, y el error absoluto medio, MAE. Además, para medir la capacidad del modelo de predecir las propiedades derivadas del material, usamos el error relativo medio para la respuesta tensión-deformación constitutiva de todo el RVE (cuando se estudia la evolución del campo de tensión). Se proporcionan más detalles en Métodos y Materiales complementarios.

Nuestro modelo ML entrenado puede predecir fenómenos mecánicos complejos, como el arrugamiento de capas interfaciales delgadas y la inestabilidad de pandeo de los materiales de la red, vinculando la geometría/topología, las propiedades del material base y las condiciones de carga con los campos de deformación, tensión y deformación. Al aprender las relaciones físicas entre los campos de deformación y tensión (o deformación) a partir de los datos, el modelo predice un comportamiento mecánico global realista incluso cuando la información de entrada no es suficiente para capturar el fenómeno local real (p. predicciones de pandeo). De hecho, al intentar minimizar el MAE global, el modelo captura más fácilmente el comportamiento promedio en ausencia de datos relacionados con el fenómeno físico considerado (se proporciona la siguiente evidencia). Para demostrar el poder de los GNN profundos para aprender y predecir la física de fenómenos mecánicos complejos en diferentes clases de materiales y estructuras, en las siguientes secciones informamos tres problemas diferentes resueltos por nuestro modelo ML en orden de complejidad creciente.

Aquí, nos enfocamos en los materiales compuestos de fibra unidireccionales tradicionales sujetos a carga de tracción uniaxial de deformación simple. Para simplificar la transmisión de las ideas clave de nuestro método, se considera una distribución de fibra periódica en forma de cuadrícula mediante el análisis de un RVE de fibra única (que representa la microestructura), como se muestra en la Fig. 2A, B. Dos materiales constituyentes componen la microestructura del material, la fase dura (es decir, fibra) y la fase blanda (es decir, matriz). La fibra tiene elasticidad lineal, mientras que la matriz tiene un comportamiento elastoplástico (plasticidad J2). Para simular la discontinuidad del material de alto contraste, en términos del módulo de Young, la fase dura es 10 veces más rígida que la fase blanda (ver Métodos). Caracterizando completamente la geometría de la microestructura, la fracción de volumen de la fibra, \(f_v\) se emplea como el único parámetro geométrico independiente g; para cada valor de \(f_v\), se le asocia un único radio de fibra (la Fig. 2A muestra diferentes microestructuras). Muestreo lineal \(f_v\) en el rango de 0.05–0.5, se genera un conjunto de datos de 500 microestructuras, luego se divide en 90 \(\%\) de datos de entrenamiento y 10 \(\%\) de datos de prueba (análisis de sensibilidad con densidad de datos de entrenamiento informada en la Fig. S12). Imponer condiciones de contorno periódicas (PBC) en los límites de cada RVE (ver Métodos), el desplazamiento \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) y el estrés \(\sigma _i= (\sigma _i^{ 11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma _i^{12})\) obtenidos de las simulaciones FE se consideran como la verdad fundamental para la salida del modelo ML. La información geométrica de entrada del modelo g de la microestructura se codifica en la topología del gráfico (a través de la conectividad del nodo) y las características del nodo y el borde. Específicamente, las coordenadas nodales no deformadas \(x_i\) y el tipo de nodo \(\xi _i\) (igual a 0 para matriz, 1 para fibra) se codifican en las características del nodo, \(v_i\). La distancia relativa entre el i-ésimo y el j-ésimo nodo \(x_{ij}=x_i-x_j\) en la configuración no deformada y su valor absoluto \(|x_{ij}|\) se codifican en las características de borde, \ (e_{ij}\).

En la Fig. 2B se muestra un RVE típico con la correspondiente curva de tensión-deformación macroscópica del conjunto de datos de prueba. Para demostrar la capacidad del modelo ML de capturar la deformación pequeña y finita y el campo de tensión en los compuestos de fibra, en la Fig. 2C-D informamos la comparación entre las simulaciones FE (verdad del terreno) y las predicciones del modelo para dos valores macroscópicos de deformación aplicada, \( {\overline{\varepsilon }}\)= 1 y 6 \(\%\) (modelo entrenado por separado). Se obtiene un MAE medio de \(\sim\) 0,02 y 0,04 sobre los datos de prueba (es decir, 50 microestructuras) para el régimen elástico y plástico, respectivamente. Nuestro modelo ML predice con precisión la deformación de la microestructura, como se muestra en la Fig. 2C para el régimen plástico. Análogamente, las distribuciones \(\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33}\) de los componentes de tensión predichos por ML, que se muestran en la Fig. 2D, se parecen mucho a las simulaciones numéricas para ambos regímenes de deformación. La precisión de las predicciones se confirma aún más con el mapa de errores, que además identifica las pequeñas regiones locales con errores más grandes (principalmente cerca del límite de la matriz de fibra de alta tensión y gradiente de deformación, como en 48), lo que contribuye a las caídas de precisión. Sorprendentemente, nuestras predicciones también capturan patrones de estrés complejos, como el esfuerzo cortante, \(\sigma _{12}\), con baja amplitud (en comparación con el componente principal \(\sigma _{11}\)), como se muestra en la figura S2. Las comparaciones de campo de tensión y deformación para otros RVE en el conjunto de datos de prueba se informan en las figuras S3 y S4. Si bien a menudo se adoptan distribuciones de tensión equivalentes, como la tensión de von Mises, como salida única45,48, nuestro modelo aprende no solo todo el campo del tensor de tensión (es decir, múltiples componentes), sino también la forma deformada correspondiente (Fig. 2C). Al aprender la mecánica de microestructuras con diferentes radios de fibra (por lo tanto, fracción de volumen), el modelo propuesto puede predecir con precisión la deformación pequeña y finita y el campo de tensión en materiales compuestos reforzados con fibra tanto diluidos como densos.

Predicción de elasticidad y plasticidad en compuestos de fibras unidireccionales cargados transversalmente. (A) Ejemplos de RVE del conjunto de datos que tienen una fracción de volumen de fibra diferente. (B) Un RVE típico (\(f_v\)=37.55 \(\%\)) sujeto a deformación por tensión uniaxial macroscópica (\({\overline{\varepsilon }}\)) junto con la correspondiente curva de tensión-deformación macroscópica . Los símbolos en el gráfico indican pequeño (\({\overline{\varepsilon }}\)=1 \(\%\)) y grande (\({\overline{\varepsilon }}\)=6 \(\% \)) deformaciones, correspondientes a elasticidad lineal y plasticidad, respectivamente. (C) Comparación de la malla deformada predicha por FE simulada (es decir, verdad del terreno) y ML para \({\overline{\varepsilon }}\)=6 \(\%\). (D) Comparación de los campos de tensión predichos por ML y simulados por FE en el RVE que se muestra en (B), elegidos al azar del conjunto de datos de prueba, para deformaciones pequeñas y grandes, con el mapa de error correspondiente (es decir, la diferencia entre la predicción y la realidad del terreno) . Los campos de tensión se trazan sobre las formas deformadas correspondientes (escala relativa exacta entre deformaciones pequeñas y grandes), mientras que los mapas de error se muestran en la configuración no deformada. Los resultados análogos para el campo de esfuerzo cortante (\ (\ sigma _ {12} \)) se informan en Materiales complementarios.

En los resultados anteriores sobre microestructuras de compuestos de fibra, el modelo ML se entrenó por separado para diferentes niveles de tensión macroscópica aplicada. Aquí, investigamos si nuestro modelo puede aprender simultáneamente múltiples pasos de carga en diferentes magnitudes, es decir, la evolución de la deformación y el campo de tensión. Para demostrar la capacidad del modelo para predecir grandes deformaciones locales, primero consideramos el mismo conjunto de datos anterior pero sujeto a condiciones de contorno de desplazamiento (en lugar de PBC). De esta manera, aprovechando la estructura gráfica de la malla para informar al modelo ML sobre las condiciones de contorno, un vector, \(u_i^{\mathbf {\text {BC }}}=(u_i^{(1,\mathbf { \text {BC }})},0)\) que representa el desplazamiento aplicado en el i-ésimo nodo, se introduce como característica de nodo adicional (es decir, \(\mathbf {\text {BC }}\) en la Fig. 1 ) . Para reducir aún más el costo computacional para la generación de datos de entrenamiento y el entrenamiento del modelo, aquí se adopta una malla más gruesa y una elasticidad lineal, y solo se consideran 100 datos en total. Sin la hipótesis de la plasticidad, las respuestas macroscópicas de tensión-deformación son lineales (menos complejas); por lo tanto, esto reduce la cantidad de datos de entrenamiento requeridos. Se muestrean linealmente cinco pasos de carga en el rango de 1–8 \(\%\) de deformación aplicada efectiva (relación entre el desplazamiento aplicado y el tamaño del RVE') para cada microestructura, tratando la variable temporal (es decir, los pasos de carga) como un parametrización de la distribución de datos, es decir, una secuencia de gráficos. Además, para hacer que el enfoque sea más general (para aplicaciones futuras en problemas dependientes de la ruta), insertamos dos capas recurrentes después del módulo de paso de mensajes, interpretando las características del nodo latente como estados ocultos (Métodos), finalmente transformados en campos de salida por el decodificador (Fig. 1). Se obtiene un MAE promedio de \(\sim\) 0.07 en los datos de prueba (promedio de todas las microestructuras y pasos) y se logra una notable similitud entre las predicciones de ML y las simulaciones de FE, como se muestra en la Fig. S5 y la Película S1. Nuestro modelo captura las grandes deformaciones transversales (a la dirección de carga) de la microestructura, lo que confirma que las GNN pueden predecir deformaciones de superficie lisa con una precisión cercana a la de los solucionadores de FE de alta fidelidad.

Además, para probar la capacidad del modelo para predecir respuestas físicas en tensiones aplicadas invisibles, se muestrean cinco pasos de carga adicionales en el rango de tensión aplicada (1–8 %), con un total de diez niveles de tensión aplicados. El modelo, entrenado solo en cinco pasos, se prueba contra las diez cepas. El resultado se muestra en la Película S2, donde se muestra el componente de tensión \(\sigma _{11}\); se obtiene un MAE promedio de \(\sim\) 0.07, como antes. Los resultados análogos, que no se muestran aquí por razones de brevedad, se mantienen al muestrear el rango de tensión en un número arbitrario de pasos de carga (probamos hasta 25) y al entrenar el modelo solo en algunos de ellos. Por lo tanto, el modelo puede predecir con precisión los campos físicos seleccionados en diferentes pasos de carga de los cinco de entrenamiento (que abarcan todo el rango de tensión aplicado). Este enfoque puede ser útil para reducir la cantidad de datos de entrenamiento necesarios para la predicción de la evolución de los campos. De hecho, al entrenar el modelo en unos pocos pasos de tiempo, sería capaz de predecir la evolución de los campos también para los niveles de tensión no vistos en el medio.

Para demostrar aún más que nuestro modelo puede predecir con precisión las propiedades del material derivado de campos de tensión más complejos, aquí se presenta la plasticidad de endurecimiento lineal para la matriz del compuesto junto con los PBC (más detalles en Métodos). Estos últimos se representan como características de nodo adicionales, siendo \(\varepsilon _i^{\mathbf {\text {BC }}}\) el componente de deformación macroscópica aplicada (BC en la Fig. 1). El modelo se entrena en diez pasos de carga y se prueba en 25 niveles de deformación en el mismo rango (0–8 %). En la Fig. 3, las respuestas de tensión-deformación predichas y simuladas de dos RVE con diferentes fracciones de volumen de fibra, así como las distribuciones de errores relativos medios en el conjunto de datos de prueba, se informan para los dos componentes de tensión macroscópica distintos de cero (promedio sobre el RVE). Aunque se obtienen valores MAE promedio más altos (\(\sim\) 0.10) para los campos físicos, las predicciones macroscópicas son prácticamente indistinguibles de las respuestas simuladas, exhibiendo errores relativos máximos por debajo de 3.5 y 7.5 % para los componentes \(\sigma_{ 11}\) y \(\sigma _{33}\), respectivamente (Fig. 3). Además, sin ingresar la información de la tensión uniaxial de deformación simple en el modelo GNN, las tensiones macroscópicas pronosticadas son consistentes con dicha condición aplicada. En consecuencia, el modelo predice que los componentes de tensión \(\sigma _{22}\) y \(\sigma _{12}\) serán cero, con una dispersión por debajo del 1 % del pico del componente dominante, \(\ sigma_{11}\).

En general, el rendimiento de nuestros modelos GNN en los dos conjuntos de datos, que comprenden solo fases elásticas con deformaciones más grandes o plasticidad de endurecimiento lineal más compleja, parece ser prometedor. Sin embargo, observamos que los errores medios de la evolución del campo (\(\sim\) 0.07–0.10) son más altos que los de predicciones separadas (\(\sim\) 0.02–0.04), es decir, modelo entrenado en una tensión macroscópica específica . Para el caso elástico, solo 90 microestructuras (proporción de datos de prueba de entrenamiento de 90:10) cada una con cinco pasos de carga se emplean como datos de entrenamiento, lo que da como resultado un conjunto de datos realmente pequeño, lo que limita la precisión máxima. Para la caja de plástico se utilizan 450 microestructuras cada una con diez pasos de carga; sin embargo, la complejidad adicional de la plasticidad del endurecimiento lineal (que caracteriza a la matriz), introduce una física dependiente de la ruta, que requiere más datos. Para comprender la compensación entre el rendimiento predictivo y los costos de capacitación, informamos un análisis de sensibilidad en la Fig. S12, que muestra que no solo el MAE promedio sino también la dispersión disminuyen con conjuntos de datos de capacitación más grandes. Debido a los grandes gráficos involucrados (mapeo de malla a gráfico), los trabajos futuros pueden centrarse en formas de reducir dicho tamaño de gráfico, proporcionando una forma de explotar conjuntos de datos de entrenamiento más grandes.

Respuesta de material macroscópico derivado de la evolución del campo de tensión predicha por GNN de compuestos de fibra unidireccional. Curvas de tensión-deformación derivadas de campos predichos por ML y simulados por FE para \(f_v = 40,5\) % (A) y \(f_v = 5,8\) % (B). (C) Distribuciones de error relativas medias evaluadas en el conjunto de datos de prueba para los dos componentes de estrés macroscópico distintos de cero. Las letras en (C) se refieren a los errores relativos de los componentes individuales de tensión distintos de cero de los RVE correspondientes en (A) y (B). La deformación en el eje x en (A) y (B) es la deformación macroscópica aplicada (\({\overline{\varepsilon }}\)). Para obtener más detalles sobre la derivación de curvas de tensión-deformación, consulte Métodos.

Si bien los campos de tensión y deformación en sistemas de materiales con una composición de material base variable que exhiben un comportamiento complejo podrían predecirse razonablemente mediante modelos de aprendizaje automático basados en píxeles que utilizan imágenes de alta resolución45,47,48, predecir con precisión también formas deformadas complejas sería costoso desde el punto de vista computacional. Para enfrentar este desafío usando nuestro modelo GNN, como ejemplo nos enfocamos aquí en la formación de interfaces arrugadas (es decir, inestabilidad) en compuestos de capas blandas56. El material compuesto estratificado (Fig. 4A) se compone de capas interfaciales duras y delgadas de espesor t, dispuestas periódicamente a una distancia d e incrustadas en una matriz blanda; ambas fases tienen elasticidad lineal, con módulo de Young \(E_0\) y \(E_1\) para la fase blanda y dura, respectivamente. Suponiendo un patrón geométrico periódico, consideramos un RVE de tamaño d (recuadro de la Fig. 4A), sujeto a compresión uniaxial de deformación simple con deformación macroscópica aplicada \({\overline{\varepsilon }}\)= 9 \(\%\) bajo PBC (ver Métodos). Como ya se sabe, la inestabilidad de la capa se rige por la relación distancia-espesor, d/t, la relación de módulos de Young \(E_1\)/\(E_0\) y la relación de matriz de Poisson \(\nu _0\)56. Para verificar si nuestro modelo puede aprender una relación entre las propiedades de los materiales base \(m=(E,\nu )\), y los campos de desplazamiento y deformación \((u_i, \varepsilon _i)\), mantenemos el parámetro geométrico g = d/t constante (evitando la inestabilidad de onda larga56), mientras varía \(E_1\)/\(E_0\) y \(\nu _0\) en el rango 50–1000 y 0.01–0.49, respectivamente. Con un muestreo lineal de 100 valores para \(E_1\)/\(E_0\) y 5 valores para \(\nu _0\), se construye un conjunto de datos de 500 configuraciones (es decir, combinaciones totales) y se divide en 90 \( \%\) de datos de entrenamiento y 10 \(\%\) de datos de prueba (análisis de sensibilidad con densidad de datos de entrenamiento informada en la Fig. S12). La información de los materiales base se codifica naturalmente en las características del nodo, sustituyendo el tipo de nodo \(\xi _i\) utilizado anteriormente con m para cada nodo.

La capa interfacial comprimida tiende a deformarse en un patrón ondulado al inicio de la inestabilidad de pandeo, como se muestra en la Fig. 4B. Para diferentes propiedades de capa y matriz, se exhiben varias formas onduladas deformadas y amplitudes de campo de tensión (ver Fig. S6). Aquí, la tarea más desafiante es capturar los patrones ondulados complejos (es decir, la amplitud y la longitud de onda de la forma deformada) y los contornos de tensión (es decir, la distribución espacial y la amplitud local) al pandearse de la capa interfacial para diferentes propiedades del material base. De hecho, a medida que el fenómeno se vuelve más complejo y ocurren deformaciones más grandes, el modelo ML se esfuerza por tener valores MAE bajos similares en el conjunto de datos de prueba como los del ejemplo anterior (compuestos de fibra). No obstante, se exhibe una distribución no uniforme de los valores MAE (tanto para el conjunto de datos de entrenamiento como de prueba) (Fig. S7). La mayoría de las predicciones exhiben un MAE bajo, como se muestra en la Fig. 4C, que se parece mucho a los patrones ondulados simulados por FE, así como a las distribuciones de tensión. El valor promedio de MAE (en el conjunto de datos de prueba) de \(\sim 0.22\) puede explicarse por desajustes altamente localizados en la amplitud del campo de tensión en algunas regiones cercanas a la interfaz (mapa de error en la Fig. 4C), y en el forma ondulada deformada para algunas configuraciones de prueba (Figs. S7–S8). Específicamente, casi independientemente de \(\nu _0\), el MAE de las predicciones en todo el conjunto de datos tiende a ser más pequeño para las microestructuras con mayor \(E_1\)/\(E_0\), correspondientes a longitudes de onda largas, alta patrones ondulados de amplitud (Fig. S7). Estos resultados sugieren que la complejidad más que la amplitud de la deformación limita la precisión de las predicciones. A pesar de predecir el patrón ondulado incorrecto (es decir, la longitud de onda) para relaciones de rigidez bajas, el modelo ML entrenado tiende a aprender una relación entre la curvatura de la capa interfacial y la distribución de la tensión (Fig. S8). Para cada componente de deformación, las deformaciones positivas y negativas están asociadas a la concavidad del patrón ondulado (Fig. S8). Considerando, por ejemplo, los componentes \(\varepsilon _{11}\) y \(\varepsilon _{22}\) en la Fig. S8, aunque la longitud de onda predicha no coincide con la real, las regiones de tracción y compresión en el material compuesto matriz se capturan cualitativamente bien en función de la concavidad de la capa. Para evaluar mejor nuestras predicciones, en la Fig. 4D comparamos las interfaces de malla arrugada simuladas por FE y predichas por ML. Aunque existen desviaciones de la deformación predicha de la solución numérica suave (recuadro en la Fig. 4D), las dos mallas se superponen globalmente, lo que indica que el modelo ML predice con precisión la amplitud y la longitud de onda de la forma de la capa posterior al pandeo. Este ejemplo demuestra que las GNN, que permiten aumentar la resolución cerca de las regiones donde se espera que ocurra el fenómeno local, pueden capturar con precisión fenómenos complejos localizados, solo en un entorno supervisado puramente basado en datos. Para investigaciones futuras, argumentamos que la suavidad en la solución prevista de ML podría imponerse mediante la introducción de restricciones físicas en el modelo GNN, aumentando la precisión y la generalización. Para investigar si un modelo de ML basado en imágenes puede resolver este problema de manera similar usando el mismo conjunto de datos, implementamos una U-Net (recientemente adoptada para materiales heterogéneos con propiedades variables del material base48) e informamos los resultados en la Fig. S9. Después de varias pruebas empíricas realizadas variando el campo perceptivo (aumentando el tamaño del núcleo, el paso de dilatación y la profundidad de la red), el modelo U-Net tiende a predecir campos de tensión uniformes (en los tres componentes) con un MAE promedio relativamente bajo de \ (\sim\) 0.07 aún sin capturar ninguna deformación local. Estos resultados sugieren que un marco GNN no solo puede predecir fenómenos altamente localizados para compuestos con propiedades variables del material base, sino que también reduce la necesidad de datos de entrenamiento en comparación con los modelos ML basados en imágenes.

Predicción del arrugamiento de las capas interfaciales en compuestos estratificados. (A) Esquema de un material compuesto estratificado compuesto por finas capas duras sumergidas en una matriz blanda. Ambas fases tienen elasticidad lineal. El recuadro muestra un RVE arbitrario de tamaño d, correspondiente a la distancia entre las capas y el espesor de la capa t. Aquí, las propiedades materiales de las dos fases (E,\(\nu\)) se varían en lugar de los parámetros geométricos. (B) Interfaz arrugada bajo compresión uniaxial macroscópica (\({\overline{\varepsilon }}\)) junto con la correspondiente curva de tensión-deformación macroscópica. El símbolo identifica el régimen post-arrugas para \({\overline{\varepsilon }}\)=9 \(\%\). Esta configuración se caracteriza por una relación de módulos de Young \(E_1\) / \(E_0\)=741 y una matriz de relación de Poisson \(\nu _0\)=0.13. (C) Comparación de los campos de tensión predichos por ML y simulados por FE en la capa interfacial que se muestra en (B), muestreados aleatoriamente del conjunto de datos de prueba, para \({\overline{\varepsilon }}\)=9 \(\%\ ), con los correspondientes mapas de error. Los campos de tensión se trazan sobre las formas deformadas correspondientes, mientras que los mapas de error se muestran en la configuración no deformada. El componente de deformación \(\varepsilon _{33}\) es globalmente cero debido a la hipótesis de la deformación simple y, por lo tanto, no se informa aquí. (D) Comparación de la malla deformada predicha por ML y simulada por FE de la configuración en (B) para \({\overline{\varepsilon }}=9 \%\).

Si bien las representaciones de imágenes son generalmente efectivas para representar sistemas de materiales completamente densos, como los analizados anteriormente, no lo son cuando se trata de metamateriales arquitectónicos con una fracción de volumen baja, como estructuras de celosía, en las que la fase sólida está escasamente distribuida. En cambio, estas estructuras son más adecuadas de forma natural para la representación gráfica. Como ejemplo, aquí explotamos nuestro modelo GNN para predecir el campo de tensión y deformación en estructuras de celosía de tamaño finito bajo carga de compresión (Fig. 5A, B). Basado en un procedimiento de generación de abajo hacia arriba presentado en nuestro trabajo anterior57, se construye un conjunto de datos de 762 estructuras con 2 \(\times\) 2 teselaciones de celdas unitarias generadas aleatoriamente (Materiales complementarios) y se divide como antes en el conjunto de datos de entrenamiento y prueba ( análisis de sensibilidad con densidad de datos de entrenamiento informada en la Fig. S12). Las estructuras reticulares están compuestas por vigas hiperelásticas incompresibles con módulo de corte inicial \(\mu\) y espesor uniforme t, y tienen fracción de volumen constante \({\overline{\rho }}\). Entrenado por separado en dos regímenes de deformación diferentes, es decir, deformaciones pequeñas y grandes, el modelo ML se caracteriza por diferentes características de nodo y borde, y salida. Para deformaciones pequeñas, solo las coordenadas nodales de la malla no deformada (10 elementos de viga por viga) se codifican en las características de nodo, y aquí se adoptan características de borde análogas a las anteriores; la salida está representada por el campo de desplazamiento \(u_i\) y la tensión axial \(\sigma _i= \sigma _i^a\) a lo largo de las vigas. Para grandes deformaciones, teniendo en cuenta el pandeo local, las coordenadas de modo propio críticas, \(\tilde{x_i}\) se codifican adicionalmente en las características de los nodos y las distancias de nodo a nodo correspondientes (\(\tilde{x_{ ij}}\) y \(|\tilde{x_{ij}}|\)) se incluyen en las características de borde; el modelo solo genera el campo de desplazamiento. Se proporcionan más detalles en Métodos y Materiales complementarios.

Para demostrar que nuestro modelo ML puede aprender el comportamiento compresivo de estructuras reticulares no uniformes para deformaciones pequeñas y grandes, en la Fig. 5C, D informamos la distribución de tensión simulada FE y predicha por ML \(\sigma _i^a\) para pequeñas fuerzas efectivas tensión (\({\overline{\varepsilon }}=0.1 \%\)), y formas deformadas después del inicio de la inestabilidad de pandeo (\({\overline{\varepsilon }}=3 \%\)), durante tres diferentes arquitecturas muestreadas aleatoriamente del conjunto de datos de prueba (consulte la Fig. S10 para ver otras redes). En el régimen elástico, el campo de tensión es capturado en general por nuestro modelo con valores MAE \(\sim 0.29\) (Fig. 5C). Llevando la mayor parte de la carga a través de las vigas alineadas con la dirección de la carga, las estructuras de celosía se estresan principalmente a lo largo de la dirección horizontal (dirección x). Predecir este comportamiento sugiere que el modelo ML aprende efectivamente la mecánica de la estructura bajo carga de compresión. El mapa de error en la Fig. 5C confirma estos resultados, excepto por algunas regiones localizadas, principalmente representadas por las uniones de celosía, donde las concentraciones de tensión tienden a ser suavizadas por el modelo ML para reducir la pérdida total. Sin embargo, esta limitación no afecta la predicción del comportamiento mecánico general de la estructura sin considerar los mecanismos locales de agrietamiento y daño, más allá del alcance de este ejemplo. Al alcanzar el desplazamiento crítico aplicado, la estructura se pandea localmente y localiza la deformación transversalmente a la dirección de la carga (Fig. 5B). El desplazamiento global (por lo tanto, la rigidez) de la estructura es capturado por el modelo ML, como se muestra en la Fig. 5D. A pesar de la deformación no lineal altamente localizada, que converge a los valores MAE \(\sim 0.39\) en el conjunto de datos de prueba, el modelo ML también puede predecir la forma deformada compleja posterior al pandeo con una aproximación satisfactoria (Fig. 5D). El desajuste entre las deformaciones locales de las vigas predichas y simuladas, junto con la buena aproximación del desplazamiento global de la estructura, sugiere que el modelo, al intentar minimizar el error global, se atasca en un mínimo local durante el entrenamiento. Esperamos que conjuntos de datos de entrenamiento mucho más grandes y restricciones físicas en el modelo puedan reducir tal desajuste local. También notamos que sin usar la información crítica del modo propio como entrada, el modelo tiende a converger a la configuración deformada sin pandeo, mientras predice adecuadamente el desplazamiento global (Fig. S11). Esta observación sugiere que el modelo GNN tiende a aprender las relaciones físicas reales entre las entradas y salidas dadas (Fig. 1).

Predicción del comportamiento compresivo de metamateriales reticulares. (A) Estructura de celosía representativa bajo carga de compresión. (B) Curva tensión-deformación efectiva normalizada de la estructura en (A) junto con el campo de tensión simulado FE normalizado (es decir, tensión axial, \(\sigma ^a\), en las vigas de la celosía) para pequeños (\({ \overline{\varepsilon }}=0.1 \%\)) y grandes (\({\overline{\varepsilon }}=3 \%\)) deformaciones. (C) Comparación del campo de tensión predicho por ML y simulado por FE para deformaciones pequeñas (\({\overline{\varepsilon }}=0.1 \%\)) en tres geometrías elegidas al azar del conjunto de datos de prueba, junto con el mapa de error correspondiente . (D) Formas deformadas posteriores al pandeo predichas por ML y simuladas por FE para \({\overline{\varepsilon }}\)=3 \(\%\). El material base tiene elasticidad no lineal incompresible (hiperelasticidad) con módulo de corte inicial \(\mu =14.5 \,\hbox {MPa}\).

Aquí, hemos propuesto un enfoque de ML basado en malla para la predicción de campos de deformación, tensión y tensión en sistemas materiales y estructurales que exhiben fenómenos físicos complejos utilizando GNN. Las redes neuronales se entrenan con unos pocos cientos de datos de simulación y, sin embargo, predicen con precisión fenómenos complejos, como el arrugamiento de las capas interfaciales y la inestabilidad de pandeo de los metamateriales diseñados, por lo que muestran una gran versatilidad y una amplia aplicabilidad. Aprovechando el mapeo natural de malla a gráfico y el poder expresivo de las GNN, nuestro modelo aprende las relaciones físicas entre la geometría y la topología, las propiedades de los materiales constituyentes, las condiciones de contorno y los campos mecánicos en varias clases de materiales y estructuras, desde compuestos de fibra hasta materiales arquitectónicos. estructuras de celosía (Fig. 1). Con el ambicioso objetivo de sustituir o complementar las simulaciones FE de sistemas mecánicos, el modelo propuesto, una vez entrenado, reduce drásticamente el tiempo de cálculo de minutos, horas o días (típico para los solucionadores de FE) a fracciones de segundo (consulte la Tabla S3). Además, si bien el proceso de entrenamiento representa el cuello de botella computacional, una vez entrenados, los GNN pueden predecir rápidamente los campos mecánicos en la clase específica de materiales y estructuras donde se entrenaron, independientemente de la complejidad del problema.

Sin embargo, existen límites relacionados con (1) la estructura gráfica de las GNN y (2) la configuración basada en datos puramente supervisada utilizada aquí. Con respecto a (1), los GNN exigen memoria durante el entrenamiento; por lo tanto, a medida que aumenta el número de nodos en la malla, la fase de entrenamiento se vuelve cada vez más costosa. Además, aparece una compensación entre el refinamiento de la malla y los fenómenos de campo lejano: cuanto más precisamente se predicen los campos locales a través del refinamiento de la malla, más pasos de paso de mensajes (costo computacional) se necesitan para capturar con precisión los fenómenos de campo lejano (es decir, la información). espacialmente lejos del refinamiento de la malla). Con respecto a (2), aunque nuestro modelo puede predecir fenómenos complejos con una pequeña cantidad de datos de entrenamiento (unos pocos cientos), todavía carece de generalizabilidad (p. ej., predecir condiciones de contorno "invisibles") y la precisión aún no es completamente comparable a la de los solucionadores numéricos de alta fidelidad. Para futuras investigaciones, suponemos que al restringir la solución GNN a las leyes físicas se puede mejorar en gran medida la precisión22, a costa de un mayor tiempo de entrenamiento. A pesar de que estas ventajas y desventajas no son insignificantes, el marco de aprendizaje automático basado en gráficos propuesto representa un primer paso hacia modelos sustitutos más potentes, especialmente adecuados para sólidos celulares, como metamateriales de estructuras arquitectónicas. Para evaluar la aplicabilidad del modelo, también informamos en la Fig. S12 un análisis de sensibilidad del rendimiento del modelo con la densidad de datos de entrenamiento. Para los tres problemas de mecánica, mostramos que aunque la precisión promedio de las predicciones de campo no aumenta rápidamente, la dispersión disminuye considerablemente con la densidad de entrenamiento.

Como prueba de concepto, también hemos demostrado que nuestro enfoque puede extenderse a la predicción de campos mecánicos en sistemas de materiales bajo múltiples pasos de carga (p. ej., para diferentes tensiones aplicadas). La combinación de GNN con redes neuronales recurrentes en un marco de gráfico dinámico55 para predecir campos físicos para diferentes excitaciones externas aplicadas (como la tensión macroscópica en RVE) podría representar una herramienta prometedora para modelar exhaustivamente fenómenos no lineales y dependientes de la trayectoria en materiales, como la elasticidad no lineal. y plasticidad. Con toda la información necesaria, los campos físicos variables proporcionarían la respuesta macroscópica del material (p. ej., la curva de tensión-deformación) como se muestra en la Fig. 3, de la que podrían extraerse fácilmente las propiedades del material, como la resistencia y la tenacidad. Además, debido a la flexibilidad de la representación gráfica y el poder expresivo de las GNN, las condiciones de carga mixta pueden codificarse fácilmente en el modelo a través de las características del nodo o del gráfico global55 (p. ej., diferentes componentes de desplazamiento aplicados a los nodos límite), y la optimización de la topología puede integrarse con el modelo propuesto para abordar problemas relacionados con las curvas y la suavidad de las superficies. Este trabajo no solo proporciona un método novedoso para predecir fenómenos físicos complejos utilizando modelos ML basados en gráficos, sino que también abre nuevas vías para diseñar materiales avanzados como metamateriales de armadura mecánicos o funcionales.

Los conjuntos de datos se generan mediante el modelado FE, utilizando el software comercial Abaqus/Standard (Dassault Systemes Simulia Corp., 2017), considerando los campos de desplazamiento, tensión y deformación como la realidad del terreno para la comparación con los resultados de ML. Todas las simulaciones se realizan en 2D bajo carga estática. Se adopta el procedimiento de paso de tiempo automático (es decir, tamaño de incremento en Abaqus), excepto para predicciones de pasos múltiples (es decir, evolución de campos físicos) donde se establece un paso de tiempo fijo de 0,01; la carga estática se divide globalmente en 101 pasos. La deformación logarítmica (LE en Abaqus) se emplea como medida de deformación para las simulaciones que implican grandes deformaciones. Para los compuestos de fibra y estratificados, se utilizan elementos de deformación simple ("CPE4R" en Abaqus) con un tamaño de malla global de 0,03 y una malla refinada localmente con elementos de 40 por 10 (dirección x e y en la Fig. 4A) en la interfacial capa, respectivamente. Los elementos de viga Timoshenko (B22 en Abaqus) se utilizan para mallar las estructuras de celosía, con un tamaño de malla global de 10 elementos por viga física. Para obtener resultados estables, se realiza un análisis de convergencia para los tres sistemas materiales. Todos los cálculos se realizan en un núcleo de CPU Intel Xeon E3-1270, 3,60 GHz.

El primer conjunto de datos se compone de 500 RVE caracterizados por una fracción de volumen de fibra diferente (es decir, el radio de la fibra), muestreados linealmente en el rango de 0,05 a 0,5. La forma del RVE es un cuadrado con un tamaño arbitrariamente establecido en 1 mm. Aplicando una tensión de carga de tracción de deformación simple macroscópica a lo largo de la dirección x (Fig. 2A) de 6 \(\%\) a cada RVE sujeto a PBC, el desplazamiento nodal, \(u_i=(u_i^1,u_i^2) \), y estrés, \(\sigma _i= (\sigma _i^{11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma _i^{12})\) campos en dos los pasos de carga (1 y 6 \(\%\) de deformación) se recopilan en el conjunto de datos como la verdad fundamental. La matriz se modela como un sólido elastoplástico (plasticidad perfecta J2) con un módulo de Young de 200 MPa, una relación de Poisson de 0,3 y un límite elástico de 10 MPa. En representación de la fase dura, se adopta un modelo elástico lineal para la fibra, con un módulo de Young de 2000 MPa y una relación de Poisson de 0,3. Para las predicciones de varios pasos, se generan dos conjuntos de datos. Para el primero, compuesto por 100 RVE, se imponen condiciones de contorno de desplazamiento (en lugar de PBC) hasta 8 \(\%\) de deformación efectiva (relación entre el desplazamiento aplicado y el tamaño de la RVE). Se adopta un modelo elástico lineal para ambas fases con los mismos parámetros anteriores. Para el segundo, compuesto por 500 RVE, se imponen PBC hasta el 8 % de la deformación macroscópica aplicada. Se adoptan las mismas propiedades del material base anterior, excepto por la matriz que se modela utilizando una plasticidad de endurecimiento lineal con un módulo tangente \(E_y = E \, \text {/} \, 3\). Las curvas macroscópicas de deformación-deformación que se muestran en la Fig. 3 se obtienen promediando el campo de tensión local para cada valor de deformación macroscópica aplicado. Se pueden encontrar más detalles sobre los PBC en Materiales complementarios.

El conjunto de datos incluye 500 combinaciones diferentes de propiedades de materiales base. Las dos fases tienen respuesta elástica lineal. La fase blanda (es decir, la matriz) tiene un módulo de Young constante \(E_0=200 \,\text {MPa}\) y una relación de Poisson variable \(\nu _0\) en el rango de 0,01–0,49. La fase dura (es decir, la capa interfacial) tiene módulo de Young variable \(E_1\) en el rango \(10^4\)–\(2 \times 10^5\,\hbox {MPa}\), y constante Relación de Poisson \(\nu _1=0.3\). Muestreando linealmente 100 valores para \(E_1\), y 5 valores para \(\nu _0\), se obtienen 500 combinaciones. Para limitar la generación de datos, el parámetro geométrico \(g=d\)/t se establece en 50, asumiendo arbitrariamente \(d=1 \,\text {mm}\). Simulamos el comportamiento no lineal posterior al pandeo de la capa interfacial (es decir, el arrugamiento) (1) realizando un análisis de valores propios, (2) aplicando el modo propio crítico a la RVE como imperfección y (3) realizando un análisis estático no lineal con grandes deformaciones. Aplicando una tensión de carga de compresión macroscópica a lo largo de la dirección x (Fig. 2A) de 9 \(\%\) a cada RVE sujeto a PBC, el desplazamiento nodal, \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) , y la tensión, \(\varepsilon _i= (\varepsilon _i^{11},\varepsilon _i^{22},\varepsilon _i^{33},\varepsilon _i^{12})\) se recopilan en el conjunto de datos como la verdad fundamental. Se pueden encontrar más detalles sobre los PBC y las arrugas en Materiales complementarios.

El conjunto de datos se compone de 762 teselaciones \(2 \times 2\) de tamaño finito de celdas unitarias generadas aleatoriamente (ver Materiales complementarios) con densidad relativa constante \({\overline{\rho }}=20 \%\). Las vigas de celosía se caracterizan por tener una sección transversal rectangular con espesor en el plano \(t= 0.14 \,\hbox {mm}\) y canto \(H=10 \,\hbox {mm}\). Para reducir los efectos de contorno, se considera un marco más grueso alrededor de las estructuras con \(t= 0.30 \,\hbox {mm}\). Se adopta un modelo de material Neo-Hookeano hiperelástico incompresible con módulo de corte inicial \(\mu =14.5 \,\text {MPa}\) para modelar las vigas de celosía. El desplazamiento de compresión uniaxial (a lo largo de la dirección x, Fig. 5A) se aplica al borde derecho, mientras se restringe el lado izquierdo. Para tener en cuenta la inestabilidad de pandeo, simulamos el comportamiento no lineal posterior al pandeo de las estructuras (1) realizando un análisis de valores propios, (2) aplicando el modo propio crítico a la estructura como imperfección, y (3) realizando un análisis estático no lineal con grandes deformaciones y no linealidades del material. El desplazamiento nodal, \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) y la tensión, \(\sigma _i= \sigma _i^a\) campos para dos regímenes de deformación, es decir, tensión efectiva de 0,1 y 3 \( \%\) antes y después del pandeo, respectivamente, se recopilan en el conjunto de datos como la verdad del terreno. Se pueden encontrar más detalles sobre la generación de celdas unitarias en Materiales complementarios.

El modelo ML se implementa utilizando PyTorch Geometric58 en el marco PyTorch59. El modelo consta de un codificador, un módulo de paso de mensajes y un decodificador. La función de codificador está codificando características de nodo, \(v_i\) y borde, \(e_{ij}\) en un espacio latente más grande. Esta tarea se lleva a cabo utilizando dos redes neuronales, \(\epsilon ^N\) y \(\epsilon ^E\) para las funciones de nodo y borde, respectivamente. Cada característica se ingresa en la red correspondiente, compuesta por dos capas de ancho d (es decir, tamaño latente), cada una asociada con una función de activación no lineal de ReLU, y finalmente seguida por una capa LayerNorm, que realiza Normalización de capa por elementos60 usando media y desviación estándar sobre un mini lote. El gráfico latente resultante luego es procesado por el módulo de paso de mensajes. Para cada nodo, el nodo vecino latente y las características del borde son transformados por la red neuronal, \(M^E\), y agregados a través de la suma; esto representa el mensaje pasado por la vecindad de un nodo. El mensaje junto con las características del nodo anterior (es decir, el estado del nodo) es actualizado por la red neuronal, \(U^N\), generando un nuevo estado del nodo. Antes de la agregación, el mensaje representa las nuevas entidades de borde. Los nuevos estados de los nodos y las características de los bordes se suman a los estados anteriores correspondientes (es decir, la suma de los residuos). Este proceso se repite L veces (es decir, pasos de mensaje). Las redes \(M^E\) y \(U^N\) tienen la misma arquitectura de las redes en el codificador. Después de L pasos de mensajes, en el decodificador, la red neuronal, \(\delta ^N\), transforma los estados latentes de los nodos en salidas de campo. Para las predicciones de varios pasos, para que el enfoque sea más general, se insertan dos unidades recurrentes controladas (GRU) después del módulo de paso de mensajes, interpretando los estados del nodo latente como estados ocultos (ver Materiales complementarios). Las características de nodo y borde de cada muestra en el conjunto de datos se normalizan mediante la función StandardScaler en la biblioteca sklearn de Python. De manera análoga, la realidad fundamental (es decir, los campos físicos nodales) se normaliza usando la media y la desviación estándar calculadas sobre los datos de entrenamiento por una función interna; las salidas del modelo ML luego se desnormalizan para la evaluación y visualización del rendimiento. Para entrenar nuestro modelo, usamos el error absoluto medio, MAE, como función de pérdida, y el optimizador de Adam, estableciendo la tasa de aprendizaje inicial en 0.01 con decaimiento exponencial por \(\gamma =0.9\) cada época. Para reducir el sobreajuste, se adopta una técnica de regularización L2 con una caída de peso de \(5 \times 10^{-4}\) en el optimizador de Adam. Además, para reducir el consumo de memoria, se emplea una técnica de mini lotes durante el entrenamiento. Cada conjunto de datos se divide en 90 \(\%\) de datos de entrenamiento y 10 \(\%\) de datos de prueba. En la Tabla S1, informamos los valores específicos del tamaño latente, los pasos del mensaje, el tamaño del lote y las épocas de entrenamiento para cada conjunto de datos. En aras de la claridad, en la Tabla S2 se informan adicionalmente las características de nodo y borde, y los campos de salida para cada conjunto de datos. Sin pérdida de generalidad, aquí no se realiza la optimización de la arquitectura de las redes ni el análisis de sensibilidad de los hiperparámetros, quedando fuera del objetivo de este trabajo. Todo el entrenamiento e inferencia de ML se realiza en una GPU NVIDIA Quadro P2000, 5GB (memoria dedicada); un núcleo de CPU Intel Xeon E3-1270, 3,60 GHz también se utiliza para la inferencia (predicciones sobre datos no vistos) para tener una comparación justa con las simulaciones FE. Se pueden encontrar más detalles en Materiales complementarios.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable. El código de los modelos ML está disponible en GitHub https://github.com/marcomau06/GNNs_fields_prediction.

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Financiamiento de acceso abierto proporcionado por la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología.

Departamento de Ingeniería Mecánica e Industrial, Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología (NTNU), 7491, Trondheim, Noruega

Marco Maurizi, Chao Gao y Filippo Berto

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MM concibió la idea, desarrolló el modelo, llevó a cabo las simulaciones y seleccionó la capacitación y las pruebas de aprendizaje automático. MM y CG analizaron e interpretaron los resultados. MM escribió el manuscrito. MM, CG y FB revisaron el manuscrito. CG y FB supervisaron el trabajo.

Correspondencia a Marco Maurizi.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Maurizi, M., Gao, C. & Berto, F. Predicción de campos de tensión, tensión y deformación en materiales y estructuras con redes neuronales gráficas. Informe científico 12, 21834 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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Recibido: 23 agosto 2022

Aceptado: 14 de diciembre de 2022

Publicado: 17 diciembre 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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